Question

8．对一切实数x，函数f（x）满足：xf（x）=2f（1-x）+1，则f（5）=$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 根据所给条件，构造另一方程，利用方程组法求解函数的解析式．然后代入求解即可．

解答 解：∵2f（1-x）+1=xf（x） ①，
用x代替1-x得：2f（x）+1=（1-x）f（1-x） ②
（1）若x=1．在①中取x=0，得：f（1）=-$\frac{1}{2}$．即当x=1时，f（x）=-$\frac{1}{2}$，
（2）若x≠1．①×（1-x）得：2（1-x）f（1-x）+（1-x）=x（1-x）f（x） ③
②×2得：4f（x）+2=2（1-x）f（1-x） ④
③+④，消去f（1-x），得：f（x）=$\frac{x-3}{{x}^{2}-x+4}$，（x≠1）而当x=1时，也满足f（x）=$\frac{x-3}{{x}^{2}-x+4}$，
综上，对任意x∈R，f（x）=$\frac{x-3}{{x}^{2}-x+4}$，
则f（5）=$\frac{5-3}{25-5+4}$=$\frac{2}{24}$=$\frac{1}{12}$，
故答案为：$\frac{1}{12}$．

点评 本题主要考查函数值的计算，利用抽象函数的关系，利用方程组法求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键．