Question

19．已知圆C：x²+y²-8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0．
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）若直线l过点（0，2）与圆C相交于点A、B，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）直线l与圆C相切，则$\frac{|4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=2，解得a值；
（2）若直线l过点（0，2）即x-y+2=0，代入圆的弦长公式，可得答案．

解答 解：将圆C的方程x²+y²-8y+12=0化为标准方程x²+（y-4）²=4，
则此圆的圆心为（0，4），半径为2．…（2分）
（1）若直线l与圆C相切，
则有$\frac{|4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=2．…（4分）
解得a=-$\frac{3}{4}$．…（6分）
（2）直线l的方程为：$\frac{x}{-2}+\frac{y}{2}=1$，
即x-y+2=0，…（8分）
圆心（0，4）到l的距离为$d=\frac{{|{-4+2}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，…（10分）
则$AB=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}$…（12分）

点评 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，圆的弦长公式，难度中档．