Question

袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取球．
（Ⅰ）若有放回地取3次，每次取1个球，求取出1个红球2个黑球的概率；
（Ⅱ）若无放回地取3次，每次取1个球，
①求在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率；
②求取出的红球数X 的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）记“取出1个红球2个黑球”为事件A，根据题意可得其发生的概率，进而得到答案． 
（Ⅱ）①记“在前2次都取出红球”为事件B，“第3次取出黑球”为事件C，分别求出其发生的概率，再结合条件概率的公式求出答案．
②随机变量X 的所有取值为0，1，2，3．根据题意分别求出其发生的概率，即可得到X的分布列进而求出X的期望．

解答：解：（Ⅰ）记“取出1个红球2个黑球”为事件A，
根据题意有P(A)=

C

1 3

(

3

7

)×(

4

7

)2=

144

343

；
 所以取出1个红球2个黑球的概率是

144

343

．
（Ⅱ）①记“在前2次都取出红球”为事件B，“第3次取出黑球”为事件C，
则P(B)=

3×2

7×6

=

1

7

，P(BC)=

3×2×4

7×6×5

=

4

35

，
所以P(C|B)=

P(BC)

P(B)

=

4 35

1 7

=

4

5

．
所以在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率是

4

5

．
②随机变量X 的所有取值为0，1，2，3．
P(X=0)=

C 3 4 • A 3 3

A 3 7

=

4

35

，P(X=1)=

C 2 4 C 1 3 • A 3 3

A 3 7

=

18

35

，
P(X=2)=

C 1 4 C 2 3 • A 3 3

A 3 7

=

12

35

，P(X=3)=

C 3 3 • A 3 3

A 3 7

=

1

35

．
所以X的分布列为：

所以EX=0×

4

35

+1×

18

35

+2×

12

35

+3×

1

35

=

45

35

=

9

7

．

点评：解决此类问题的关键是首先让学生清楚有放回与无放回这两种模型的区别，应该清楚每种情况对应的基本事件空间是谁，同时要弄清楚序的问题，一个总的问题：分子和分母同时有序或无序．还要注意条件概率问题中的相关定义，谁是条件．