Question

如图所示的多面体V-ABCD，它的正视图为直角三角形，侧视图为等腰三角形，俯视图的边界为正方形（尺寸如图所示，单位：cm）．
（I）求多面体V-ABCD的表面积；
（II）设，是否存在实数λ使得平面VCD与平面EAC所成的锐角为30°？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）由题意，S_△VAB=，S_{正方形ABCD}=2×2=4
在△VBC中，BC=2，VB=，且VB⊥BC，∴S_△VBC=
同理可得S_△VAD=
在△VCD中，VC=VD=3，CD=2，∴S_△VCD=
∴多面体V-ABCD的表面积为6+2+2；
（II）设AB，CD的中点为O，F，连接VO，OF，则OB，OF，OV两两垂直，以O为原点，OB，OF，OV所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
则A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（-1，2，0），V（0，0，2），E（，0，1）
设平面VCD的一个法向量为=（x，y，z）
∵=（-1，-2，2），=（-2，0，0）
∴由可得，∴可取=（0，1，1）
设平面EAC的一个法向量为=（x′，y′，z′）
∵=（λ，0，-2λ），=（-1，0，-2）
∴==（-1-λ，0，2λ-2）
∵=（2，2，0）
∴，∴可取=（2λ-2，-2λ+2，λ+1）
∵平面VCD与平面EAC所成的锐角为30°
∴cos＜，＞==
∴25λ²-30λ+9=0
∴λ=
∴存在λ=，使得平面VCD与平面EAC所成的锐角为30°
分析：（I）多面体V-ABCD的表面积为S_△VAB+S_{正方形ABCD}+S_△VAD+S_△VCD，即可得到结论；
（II）设AB，CD的中点为O，F，连接VO，OF，则OB，OF，OV两两垂直，以O为原点，OB，OF，OV所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，确定平面VCD与平面EAC的法向量，利用平面VCD与平面EAC所成的锐角为30°，即可求得结论．
点评：本题考查多面体的表面积，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．