Question

（2014•江门模拟）已知函数f（x）=e^x（ax+b），曲线y=f（x）经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=4x+2．
（1）求常数a，b的值；
（2）求证：曲线y=f（x）和直线l只有一个公共点；
（3）是否存在常数k，使得x∈[-2，-1]，f（x）≥k（4x+2）恒成立？若存在，求常数k的取值范围；若不存在，简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，和切线方程之间的关系，求常数a，b的值；
（2）构造方程，利用导数取证明曲线y=f（x）和直线l只有一个公共点；
（3）是将不等式f（x）≥k（4x+2）恒成立，转化为函数最值成立，构造函数，利用导数进行求解．

解答：解：（1）f′（x）=e^x（ax+a+b）…（1分），
依题意，

f(0)=2 f/(0)=4

，
即

e0(a×0+b)=2 e0(a×0+a+b)=4

…（3分），
解得a=b=2…（5分）．
（2）记g（x）=e^x（ax+b）-（4x+2）=2e^x（x+1）-2（2x+1），
则g′（x）=2e^x（x+2）-4…（6分），
当x=0时，g′（x）=0；
当x＞0时，g′（x）＞0；
当x＜0时，g′（x）＜0…（8分），
∴g（x）≥g（0）=0，等号当且仅当x=0时成立，
即f（x）≥4x+2，等号当且仅当x=0时成立，曲线y=f（x）和直线l只有一个公共点…（9分）．
（3）x∈[-2，-1]时，4x+2＜0，
∴f（x）≥k（4x+2）恒成立当且仅当k≥

f(x)

4x+2

=

ex(x+1)

2x+1

…（10分），
记h(x)=

ex(x+1)

2x+1

，x∈[-2，-1]，
h/(x)=

ex(2x2+3x)

(2x+1)2

…（11分），
由h′（x）=0得x=0（舍去），x=-

3

2

…（12分）
当-2≤x＜-

3

2

时，h′（x）＞0；
当-

3

2

＜x≤-1时，h′（x）＜0…（13分），
∴h(x)=

ex(x+1)

2x+1

在区间[-2，-1]上的最大值为h(-

3

2

)=

1

4

e-

3

2

，常数k的取值范围为(

1

4

e-

3

2

，+∞)…（14分）．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的性质，考查学生的运算能力，运算量较大，综合性较强，难度较大．