【题目】已知函数.
(1)当时,求证:;
(2)当时,若不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)若,证明.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.
【解析】分析:(1)先利用导数求函数,再证明. (2)把不等式恒成立转化为≥0,再利用导数求即得a的取值范围. (3)利用第(2)问的结论和分析法证明.
详解:(1)当时,,,
当时,;当时,
故在上单调递减,在上单调递增,
,.
(2),令,则.
①当时,在上,,单调递增,,即,在上为增函数,
,当时满足条件.
②当时,令,解得,在上,,单调递减,
当时,有,即 在上为减函数,,不合题意.
综上,实数的取值范围为.
(3)由(2)得,当,时,,即=,
欲证不等式,
只需证明,
只需证明,
只需证 ,
设,则.
当时,恒成立,且, 恒成立.
原不等式得证.
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【题目】定义在R上的函数f(x)满足 , .
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)的单调区间;
(3)如果s、t、r满足|s﹣r|≤|t﹣r|,那么称s比t更靠近r.当a≥2且x≥1时,试比较 和ex﹣1+a哪个更靠近lnx,并说明理由.
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【题目】微信是现代生活进行信息交流的重要工具,据统计,某公司名员工中的人使用微信,其中每天使用微信时间在一小时以内的有人,其余每天使用微信在一小时以上.若将员工年龄分成青年(年龄小于岁)和中年(年龄不小于岁)两个阶段,使用微信的人中是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信,经常使用微信的员工中是青年人.
(Ⅰ)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系,列出列联表;
青年人 | 中年人 | 合计 | |
经常使用微信 | |||
不经常使用微信 | |||
合计 |
(Ⅱ)由列联表中所得数据,是否有的把握认为“经常使用微信与年龄有关”?
(Ⅲ)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取人,从这人中任选人,求事件 “选出的人均是青年人”的概率.
附:
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【题目】如图,AB是的⊙O直径,CB与⊙O相切于B,E为线段CB上一点,连接AC、AE分别交⊙O于D、G两点,连接DG交CB于点F. (Ⅰ)求证:C、D、G、E四点共圆.
(Ⅱ)若F为EB的三等分点且靠近E,EG=1,GA=3,求线段CE的长.
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【题目】定义:若对定义域内任意x,都有(a为正常数),则称函数为“a距”增函数.
(1)若,(0,),试判断是否为“1距”增函数,并说明理由;
(2)若,R是“a距”增函数,求a的取值范围;
(3)若,(﹣1,),其中kR,且为“2距”增函数,求的最小值.
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【题目】设函数f(x)= x3﹣(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
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【题目】下列命题中正确命题的个数是( )
(1)cosα≠0是 的充分必要条件
(2)f(x)=|sinx|+|cosx|,则f(x)最小正周期是π
(3)若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后,则样本的方差不变
(4)设随机变量ζ服从正态分布N(0,1),若P(ζ>1)=p,则 .
A.4
B.3
C.2
D.1
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【题目】已知曲线,,则下列结论正确的是( )
A. 把上所有的点向右平移个单位长度,再把所有图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到曲线
B. 把上所有点向左平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到曲线
C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度,得到曲线
D. 把上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度,得到曲线
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