Question

如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为a_n．求
（Ⅰ）a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）a_n与a_n+1（n≥2）的关系式；
（Ⅲ）数列{a_n}的通项公式a_n，并证明a_n≥2n（n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ） 当n=1时，不同的染色方法种数a₁=3，
当n=2时，不同的染色方法种数a₂=6，
当n=3时，不同的染色方法种数a₃=6，
当n=4时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形
∴不同的染色方法种数a₄=3×1×2×2+3×2×1×1=18．
（Ⅱ）依次对扇形区域1，2，3，…n，n+1染色，不同的染色方法种数为3×2ⁿ，其中扇形区域1与n+1不同色的有a_n+1种，扇形区域1与n+1同色的有a_n种
∴a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）
（Ⅲ）∵a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）
∴a₂+a3=3×2²
a₃+a₄=3×2³
…
a_n-1+a_n=3×2^n-1将上述n-2个等式两边分别乘以（-1）^k（k=2，3…n-1），再相加，得
a₂+（-1）^n-1a_n=3×2²-3×2³+…+3×（-1）^k×2^n-1=3×

22[1-(-2)n-1]

1-(-2)

，
∴a_n=2ⁿ+2•（-1）ⁿ从而an=

3               n=1 2n+2•(-1)n

n≥2．
（Ⅲ）证明：当n=1时，a₁=3＞2×1
当n=2时，a₂=6＞2×2，
当n≥3时，
a_n=2ⁿ+2•（-1）ⁿ=（1+1）ⁿ+2•（-1）ⁿ
=1+n+C₂ⁿ+C₃ⁿ+…+C_n-2ⁿ+n+1+2•（-1）ⁿ
≥2n+2+2（-1）ⁿ≥2n，
故a_n≥2n（n∈N^*）．