Question

2．已知椭圆：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线l交椭圆于A，B 两点，则|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|+|$\overrightarrow{A{F}_{2}}$|的最大值为$\frac{28}{3}$．

Answer 1

分析 由椭圆方程求得椭圆的半焦距，结合椭圆定义求得|AF₂|+|BF₂|+|AB|=4a=12，再求出当AB垂直于x轴时的最小值，则|AF₂|+|BF₂|的最大值可求．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，得a=3，b=2，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由椭圆的定义可得：|AF₂|+|BF₂|+|AB|=4a=12，
∵当且仅当AB⊥x轴时，|AB|取得最小值，
把x=-$\sqrt{5}$代入$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，解得：y=±$\frac{4}{3}$，
∴|AB|_min=$\frac{8}{3}$，
∴|AF₂|+|BF₂|的最大值为12-$\frac{8}{3}$=$\frac{28}{3}$．
故答案为：$\frac{28}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆的简单几何性质，关键是明确当AB垂直于x轴时焦点弦最短，是基础题．