Question

一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、G分别是AB、DF的中点．
（1）在AD上（含A、D端点）确定一点P，使得GP∥平面FMC；
（2）一只苍蝇在几何体ADF-BCE内自由飞翔，求它飞入几何体F-AMCD内的概率．

Answer 1

分析：（1）由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC，点P在A点处，取FC中点S，连接GS、MS、GA，根据中位线定理可知GS∥AB且GS=

1

2

AB，从而得到四边形AGSM为平行四边形，可证得结论；
（2）先根据三棱锥的体积公式求出F-AMCD的体积与三棱锥的体积公式求出ADF-BCE的体积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．

解答：（本小题满分12分）．
解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC
（1）点P在A点处．…（2分）
证明：取FC中点S，连接GS、MS、GA
∵G是DF的中点，
∴GS∥AB，且GS=

1

2

AB，
∴四边形AGSM为平行四边形
∴AG∥MS，而AG?平面FMC，MS?平面FMC
∴AG∥面FMC，
∴在AD上（含A、D端点）确定一点P即在A点处，使得GP∥平面FMC；
（2）因为VF-AMCD=

1

3

SAMCD×DF=

1

4

a3，
VADF-BCE=

1

2

a3，…（10分）
所以它飞入几何体F-AMCD内的概率为

1 4 a3

1 2 a3

=

1

2

…（12分）

点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及几何概型的应用，同时考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题．