Question

设函数f(x)=

1

x+1

，点A₀表示原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），θ_n是向量

a

与向量

i

=(1，0)的夹角，

an

=

A0A1

+

A1A2

+

A2A3

+…+

An-1An

，设S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n，则

lim

n→∞

Sn=

1

．

Answer 1

分析：利用向量求和知识向量化简为=

.

A0

An，利用向量夹角概念可得tanθn=

f(n)

n

=

1

n×(n+1)

，再利用数列裂项相消求和知识及极限运算法则可得解．

解答：解：由向量求和知

an

=

A0A1

+

A1A2

+

A2A3

+…+

An-1An

=

.

A0

An
∵函数f(x)=

1

x+1

，点A₀表示原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*），θ_n是向量

a

与向量

i

=(1，0)的夹角，
∴tanθn=

f(n)

n

=

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=tanθ₁+tanθ₂+tanθ₃+…+tanθ_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

∴

lim

n→∞

Sn=1
故答案为1．

点评：本题的考点是数列的极限，主要考查向量与极限结合的综合．涉及向量运算的多边形法则及向量夹角概念．考查数列求和的裂项相消方法及极限运算法则，有一定的综合性．