Question

4．设a≥2，函数f（x）=x|x-a|-a，若对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，则a的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 作出函数f（x）=x|x-a|-a的图象，根据二次函数的对称轴的位置分类讨论，利用函数的单调性可分别求得对应区间上的最小值，综合可得a的最小值．

解答 解：∵f（x）=x|x-a|-a=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax-a，x≥a}\\{{-x}^{2}+ax-a，x＜a}\end{array}\right.$，其图象如下：

∵a≥2，对任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立?f（x）_min≥0，
∴①当$\frac{a}{2}$≥3，即a≥6时，f（x）在区间[2，3]上单调递增，
∴f（x）_min=f（2）=2（a-2）-a=a-4≥0，解得：a≥4，
②当$\frac{5}{2}$＜$\frac{a}{2}$＜3时，即5＜a＜6时，f（x）_min=f（2）=2（a-2）-a=a-4≥0，解得：a≥4，
∴5＜a＜6；
③当2＜$\frac{a}{2}$≤$\frac{5}{2}$时，即4＜a≤5时，f（x）_min=f（3）=3（a-3）-a=2a-9≥0，解得：a≥$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{9}{2}$≤a≤5，
④当$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤2}\\{a≥3}\end{array}\right.$，即3≤a≤4时，f（x）在区间[2，3]上单调递减，
∴f（x）_min=f（3）=3（a-3）-a=2a-9≥0，解得：a≥$\frac{9}{2}$，
∴a∈∅；
⑤当2≤a＜3时，f（x）_min=f（a）=-a≥0，解得a∈∅；
综上所述，a≥$\frac{9}{2}$．
∴a的最小值为：$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查函数恒成立问题，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．