精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点A(a,4)到其准线的距离为
174

(Ⅰ)求p与a的值;
(Ⅱ)设抛物线C上动点P的横坐标为t(0<t<2),过点P的直线交C于另一点Q,交x轴于M点(直线PQ的斜率记作k).过点Q作PQ的垂线交C于另一点N.若MN恰好是C的切线,问k2+tk-2t2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.
分析:(I)利用抛物线的定义和点在抛物线上满足的条件即可得出;
(II)由题意可知:过点P(t,t2)的直线PQ的斜率k不为0,则直线PQ:y-t2=k(x-t),即可求出点M的坐标,把直线PQ的方程与抛物线的方程联立即可得出点Q的坐标.由QN⊥QP,即可得出直线QN的方程,与抛物线方程联立即可得出点N的坐标,利用导数和斜率的计算公式即可得出直线MN两种形式的斜率,化简即可证明结论.
解答:解:(I)可得抛物线的准线方程为y=-
p
2
,由题意可得4+
p
2
=
17
4
,解得p=
1
2

∴抛物线的方程为x2=y.把点A(a,4)代人此方程得a2=4,解得a=±2.
∴a=±2,p=
1
2

(II)由题意可知:过点P(t,t2)的直线PQ的斜率k不为0,则直线PQ:y-t2=k(x-t),
当y=0时,x=t-
t2
k
,∴M(t-
t2
k
,0)

联立
y-t2=k(x-t)
x2=y
消去y得(x-t)[x-(k-t)]=0,
解得x=t,或x=k-t.∴Q(k-t,(k-t)2),
∵QN⊥QP,∴kQN=-
1
k
,∴直线NQ:y-(k-t)2=-
1
k
[x-(k-t)]

联立
y-(k-t)2=-
1
k
[x-(k-t)]
x2=y
,消去y化为[x-(k-t)][x+(k-t)+
1
k
]=0
,解得x=k-t,或x=t-k-
1
k

∴N(t-k-
1
k
,(t-k-
1
k
)2)
,∴抛物线在点N处的切线的斜率为y=2x|x=t-k-
1
k
=2(t-k-
1
k
)

另一方面kMN=
(t-k-
1
k
)2
t2
k
-k-
1
k

2(t-k-
1
k
)=
(t-k-
1
k
)2
t2
k
-k-
1
k

t-k-
1
k
≠0
,∴2(
t2
k
-k-
1
k
)=t-k-
1
k
,化为k2+tk-2t2=-1为定值.
点评:熟练掌握抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立即可得到交点的坐标、导数的几何意义与切线的斜率关系、斜率的计算公式设解题的关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:x2=2py(p>0),其焦点F到准线的距离为
12

(1)试求抛物线C的方程;
(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t>0),过P的直线交C于另一点Q,交x轴于M,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N,若MN是C的切线,求t的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:x2=
12
y
和定点P(1,2),A、B为抛物线C上的两个动点,且直线PA和PB的斜率为非零的互为相反数.
(I)求证:直线AB的斜率是定值;
(II)若抛物线C在A、B两点处的切线相交于点M,求M的轨迹方程;
(III)若A′与A关于y轴成轴对称,求直线A′B与y轴交点P的纵坐标的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:x2=2py,过点A(0,4)的直线l交抛物线C于M,N两点,且OM⊥ON.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点N作y轴的平行线与直线y=-4相交于点Q,若△MNQ是等腰三角形,求直线MN的方程.K.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:x2=ay(a>0),斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F,交抛物线于A,B两点,且抛物线上一点M(2
2
 , m) (m>1)
到点F的距离是3.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若k>0,且
AF
=3
FB
,求k的值.
(Ⅲ)过A,B两点分别作抛物线的切线,这两条切线的交点为点Q,求证:
AB
 • 
FQ
=0

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:x2=2my(m>0)和直线l:y=x-m没有公共点(其中m为常数).动点P是直线l上的任意一点,过P点引抛物线C的两条切线,切点分别为M、N,且直线MN恒过点Q(1,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知O点为原点,连接PQ交抛物线C于A、B两点,求
|PA|
|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
的值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案