Question

11．已知函数f（x）=2^x-2^-x．
（1）求f（x）的零点．
（2）用定义判别f（x）的奇偶性；
（3）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=0，可得f（x）的零点．
（2）验证f（-x）=-f（x），即可判断f（x）的奇偶性；
（3）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论．

解答 解：（1）由2^x-2^-x=0，可得x=0，即f（x）的零点是0．
（2）函数的定义域为R，f（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-f（x），
∴函数是奇函数；
（3）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=${2}^{{x}_{1}}-{2}^{-{x}_{1}}$-（${2}^{{x}_{2}}-{2}^{-{x}_{2}}$）
=$（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）（1+\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．

点评 本题考查函数的零点，奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．