Question

给出下列四个命题：
①命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x∈R，sinx＜1；
②当a≥1时，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集为非空；
③当x＞1时，有1nx+

1

1nx

≥2；
④设有五个函数y=x-1，y=x

1

2

，y=x3，y=x2，y=2|x|，其中既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的有2个．
其中真命题的序号是

③④

．

Answer 1

分析：根据全称命题的否定方法，我们可以判断①的真假；
根据绝对值的几何意义，可得函数y=|x-4|+|x-3|的值域为[1，+∞），可得②的真假；
当x＞1时，lnx＞0，有基本不等式得③的真假；
根据幂函数，指数函数的奇偶性和单调性结合函数图象的对折变换，可判断④的真假．

解答：解：根据全称命题的否定方法--“即要否定量词，又要否定结论”，即命题p为：?x∈R，sinx≤1时，则￢p应为：?x∈R，sinx＞1，故①错误；
∵函数y=|x-4|+|x-3|的值域为[1，+∞），∴当a＞1时，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集为非空，故②错误；
当x＞1时，lnx＞0，由基本不等式得1nx+

1

1nx

≥2

1nx• 1 1nx

=2，故③正确；
函数y=x-1，y=x

1

2

，y=x3，y=x2，y=2|x|，其中既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的有y=x²，y=2^|x|共2个，故④正确；
故答案为：③④

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，全称命题的否定，绝对值不等式，基本不等式，幂函数，指数函数的性质，其中熟练掌握相关函数的性质及不等式的解法是解答的关键．