Question

已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点（1，），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线x+y+1=0与椭圆E相交于A、B（B在A上方）两点，问是否存在直线l，使l与椭圆相交于C、D（C在D上方）两点且ABCD为平行四边形，若存在，求直线l的方程与平行四边形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为（a＞b＞0），由题意可得解得a²=4，b²=3．
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）如图所示，由于直线x+y+1=0过椭圆的左焦点F₁（-1，0），且斜率为-1，由对称性可知，存在直线l过椭圆的右焦点F₂（1，0），
且斜率为-1的直线l：x+y-1=0符合题意．
直线x+y+1=0与直线x+y-1=0的距离为d==．
联立得7x²-8x-8=0．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=-．
∴|CD|==．
故平行四边形ABCD的面积S==．
分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义和离心率的计算公式即可得出；
（Ⅱ）利用椭圆的对称性可知存在满足题意的平行四边形，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可求出其面积．
点评：熟练掌握椭圆的定义和离心率的计算公式、椭圆的对称性、弦长公式和点到直线的距离公式是解题的关键．