Question

已知幂函数f（x）=x^m-3（m∈N⁺）在（0，+∞）上是减函数，求函数f（x）的解析式，并讨论函数f（x）的单调性与奇偶性．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意可得，m-3＜0，即m＜3，从而解出m的值，代入求出f（x）=x^-2或f（x）=x^-1，从而讨论其单调性与奇偶性．

解答： 解：∵幂函数f（x）=x^m-3（m∈N⁺）在（0，+∞）上是减函数，
∴m-3＜0，即m＜3，
又∵m∈N⁺，
∴m=1或m=2；
∴f（x）=x^-2或f（x）=x^-1，
f（x）=x^-2是R上的偶函数，其在（0，+∞）上是减函数，在（-∞，0）上是增函数；
f（x）=x^-1是R上的奇函数，其在（0，+∞）上是减函数，在（-∞，0）上也是减函数．

点评：本题考查了幂函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．