Question

如图，椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，F为右焦点．过F作一直线交椭圆于A、B两点．M（4，0）是x轴上一定点，连接MA、MB．
（1）证明：∠AMF=∠BMF
（2）求

1

AM

+

1

BM

的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）当AB的斜率不存在时，AB的方程为x=1，∠AMF=∠BMF．当AB的斜率k存在时，设AB的方程为y=k（x-1），
联立

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用韦达定理推导出k_AM+k_BM=0，即能证明∠AMF=∠BMF．
（2）设∠AMF=∠BMF=θ，（0≤θ＜

π

2

），

1

AM

+

1

BM

=

AM+BM

AM•BM

=

AM+BM

S△ABM 1 2 sin2θ

=

2

3

cosθ，由此得当AB的斜率不存在时，

1

AM

+

1

BM

取最小值，由此能求出结果．

解答： （1）证明：∵椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，F为右焦点，∴F（1，0），
当AB的斜率不存在时，AB的方程为x=1，
此时A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

），
∵M（4，0），∴∠AMF=∠BMF．
当AB的斜率k存在时，设AB的方程为y=k（x-1），
联立

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∵直线交椭圆于A、B两点，∴△=64k⁴-4（3+4k²）（4k²-12）＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
k_AM+k_BM=

y1

x1-4

+

y2

x2-4

=

y1x2+x1y2-4(y1+y2)

(x1-4)(x2-4)

=

(kx1-k)x2+x1(kx2-k)-4(kx1-k+kx2-k)

(x1-4)(x2-4)

=

2kx1x2-5k(x1+x2)+8k

(x1-4)(x2-4)

=

2k• 4k2-12 3+4k2 -5k• 8k2 3+4k2 +8k

(x1-4)(x2-4)

=0，
∴∠AMF=∠BMF．
综上所述：∠AMF=∠BMF．
（2）解：设∠AMF=∠BMF=θ，（0≤θ＜

π

2

），

1

AM

+

1

BM

=

AM+BM

AM•BM

=

AM+BM

S△ABM 1 2 sin2θ

=

tan2θ+1 •[|4-x1|+|4-x2|]

|MF|•(|y1|+|y2|) 2sinθcosθ

=2sinθ•

1

|MF|

•

1

tanθ

=

2

|MF|

cosθ
=

2

3

cosθ，
∴θ越大，

1

AM

+

1

BM

越小，
∴当AB的斜率不存在时，AB的方程为x=1，
此时A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

），

1

AM

+

1

BM

取最小值，
此时，tanθ=

3 2

3

=

1

2

，cosθ=

2 5

5

，
∴（

1

AM

+

1

BM

）_min=

2

3

×

2 5

5

=

4 5

15

．

点评：本题考查两角大小相等的求法，考查代数和最小的求法，涉及到直线方程、椭圆性质、韦达定理、三角函数等知识点的合理运用．