Question

(历史方向) 如图,空间四边形ABCD中,AC,BD为对角线,E,F分别为AB,BC的中点,G,H分别在边CD,DA上,且.

⑴求证:点E,F,G,H共面;

⑵若λ=2,求证:直线FG,EH,BD相交于一点.

Answer 1

如图,空间四边形ABCD中,AC,BD为对角线,E,F分别为AB,BC的中点,G,H分别在边CD,DA上,且.

⑴求证:点E,F,G,H共面;

⑵若λ=2,求证:直线FG,EH,BD相交于一点.

证明: ⑴∵在△ABC中,E,F分别为AB,BC的中点

∴EF‖AC且           ……………………（2分）

又∵在△ADC中, G,H分别在边CD,DA上,且

∴GH‖AC且       ……………………（4分）

∴EF‖GH                         ……………………（6分）

∴点E,F,G,H共面.                   ……………………（7分）

⑵当λ=2时,由⑴得,  ∴EF>GH   ……………………（8分）

∴FG,EH在平面EFGH内不平行,设FG,EH相交于点O      ……………………（9分）

∴O∈FG                                             ……………………（10分）

又∵FG平面BDC

∴O∈平面BDC                                       ……………………（11分）

同理O∈平面BDA

∴O在平面BDC与平面BDA交线上                     ……………………（12分）

又∵平面BDC∩平面BDA=BD

∴O∈BD

∴直线FG,EH,BD相交于一点O.                        ……………………（14分）