Question

（2008•深圳二模）已知数列{a_n}满足a₁=a，an+1=

(4n+6)an+4n+10

2n+1

(n∈N*)．
（Ⅰ）试判断数列{

an+2

2n+1

}是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项a_n．
（Ⅱ）如果a=1时，数列{a_n}的前n项和为S_n．试求出S_n，并证明

1

S3

+

1

S4

+…+

1

Sn

＜

1

10

（n≥3）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由an+1+2=

(4n+6)an+4n+10

2n+1

+2=

(4n+6)(an+2)

2n+1

，知

an+1+2

2n+3

=2•

(an+2)

2n+1

．令bn=

an+2

2n+1

，则b_n+1=2b_n．由此能够求出an=

(a+2)(2n+1)

3

•2n-1-2．
（Ⅱ）当a=1时，a_n=（2n+1）•2^n-1-2，S_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1-2n．令T_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1，则2T_n=3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，再由错位相减法和裂项求和法进行求解．

解答：解：（Ⅰ）∵an+1+2=

(4n+6)an+4n+10

2n+1

+2=

(4n+6)(an+2)

2n+1

，
∴

an+1+2

2n+3

=2•

(an+2)

2n+1

．
令bn=

an+2

2n+1

，则b_n+1=2b_n．  …2分
∵b1=

a+2

3

，
∴当a=-2时，b₁=0，则b_n=0．
∵数列{0}不是等比数列．
∴当a=-2时，数列{

an+2

2n+1

}不是等比数列．…4分
当a≠-2时，b₁≠0，则数列{

an+2

2n+1

}是等比数列，且公比为2．
∴b_n=b₁•2^n-1，
即

an+2

2n+1

=

a+2

3

•2n-1．
解得an=

(a+2)(2n+1)

3

•2n-1-2．      …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=1时，a_n=（2n+1）•2^n-1-2，
S_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1-2n．
令T_n=3+5•2+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1，…①
则2T_n=3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，…②
由①-②：-T_n=3+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n+1）•2ⁿ
=3+2•

2(1-2n-1)

1-2

-(2n+1)•2n
=（1-2n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ+1，…9分
则S_n=T_n-2n=（2n-1）（2ⁿ-1）．             …10分
∵2ⁿ=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^n-1+C_nⁿ，
∴当n≥3时，2ⁿ≥C_n⁰+C_n¹+C_n^n-1+C_nⁿ=2（n+1），则2ⁿ-1≥2n+1．…12分
∴S_n≥（2n-1）（2n+1），
则

1

Sn

≤

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．…13分
因此，

1

S3

+

1

S4

+…+

1

Sn

≤

1

2

[(

1

5

-

1

7

)+(

1

7

-

1

9

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(

1

5

-

1

2n+1

)＜

1

10

． …14分．

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意错位相减法和裂项求和法的灵活运用．