Question

3．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C₁D．
（1）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）如果点E是B₁C₁的中点，求证：平面A₁EB∥平面ADC₁．

Answer 1

分析 （1）由于正三棱柱中，CC₁⊥平面ABC，得到AD⊥CC₁又已知AD⊥C₁D，利用线面垂直的判断定理得到结论．
（2）连结A₁C，交AC₁于O，连结OD，推导出OD∥A₁B，由点E是B₁C₁的中点，可得BD$\stackrel{∥}{=}$EC₁，即BE∥DC₁，由BE∩A₁B=B，DC₁∩OD=D，即可证明平面A₁EB∥平面ADC₁．

解答 （满分为14分）
解：（1）在正三棱柱中，CC₁⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，
∴AD⊥CC₁．                   …（2分）
又AD⊥C₁D，CC₁交C₁D于C₁，且CC₁和C₁D都在面BCC₁B₁内，
∴AD⊥平面BCC₁B₁．            …（5分）
（2）连结A₁C，交AC₁于O，连结OD，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在棱BC上，AD⊥C₁D．
平面C₁AD⊥平面B₁BCC₁，
∴D是BC中点，O是A₁C中点，
∴OD∥A₁B，…（7分）
∵点E是B₁C₁的中点，D是BC中点，
∴BD$\stackrel{∥}{=}$EC₁，
∴四边形BDEC₁ 为平行四边形，BE∥DC₁，…（10分）
∵BE∩A₁B=B，DC₁∩OD=D，且A₁B，BE?平面A₁EB，DC₁，OD?平面ADC₁，
∴平面A₁EB∥平面ADC₁．…（14分）

点评 本题主要考查了面面垂直和线面平行的证明，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．