Question

某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）．经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x²+x万元．设余下工程的总费用为y万元．
（1）试将y表示成关于x的函数；
（2）需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少万元？

Answer 1

分析：（1）先设需要修建k个增压站，列出余下工程的总费用的函数表达式，再结合自变量x的实际意义：x表示相邻两增压站之间的距离，确定出函数的定义域即可．
（2）依据（1）中得出的函数表达式，结合基本不等式即可求得函数y的最大值．最后回到原实际问题进行解答即可．

解答：解：（1）设需要修建k个增压站，则（k+1）x=240，即k=

240

x

-1．所以y=400k+(k+1)(x2+x)=400×(

240

x

-1)+

240

x

(x2+x)=

96000

x

+240x-160．
因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x≤240．
故y与x的函数关系是y=

96000

x

+240x-160(0＜x≤240)．
（2）y=

96000

x

+240x-160≥2

96000 x ×240x

-160=2×4800-160=9440．
当且仅当

96000

x

=240x即x=20时取等号．此时，k=

240

x

-1=

240

20

-1=11．
故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9440万元．

点评：本小题主要考查基本不等式、函数单调性的应用、函数模型的选择与应用、函数最值的应用等基础知识，考查应用数学的能力．属于中档题．