Question

“我们称使f(x)＝0的x为函数y＝f(x)的零点．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是连续的、单调的函数，且满足f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上有唯一的零点”．对于函数f(x)＝6ln(x＋1)－x²＋2x－1.

(1)讨论函数f(x)在其定义域内的单调性，并求出函数极值；

(2)证明连续函数f(x)在[2，＋∞)内只有一个零点．

Answer 1

解析　(1)f(x)＝6ln(x＋1)－x²＋2x－1的定义域为(－1，＋∞)，

且f′(x)＝－2x＋2＝，f′(x)＝0⇒x＝2(－2舍去)．

 

x	(－1,2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－
f(x)		极大值	

由表可知，f(x)在区间(－1,2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．

∴当x＝2时，f(x)的极大值为f(2)＝6ln3－1.

(2)证明：由(1)知f(2)＝6ln3－1>0，f(x)在[2,7]上单调递减．

又f(7)＝6ln8－36＝18(ln2－2)<0，

∴f(2)·f(7)<0.

∴f(x)在[2,7]上有唯一零点．

当x∈[7，＋∞)时，f(x)≤f(7)<0.

故x∈[7，＋∞)时，f(x)不为零．

∴y＝f(x)在[7，＋∞)上无零点．

∴函数f(x)＝6ln(x＋1)－x²＋2x－1在定义域内只有一个零点．