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6.已知函数f(x)=1nx-a(x-1)2的单调递增区间是(0,$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$)
(1)求实数a的值;
(2)证明:当x>1时,f(x)<x-1.

分析 (1)求出f(x)的导数,得到x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$是f′(x)=0的根,代入方程求出a的值即可;
(2)问题转化为lnx-$\frac{1}{2}$(x-1)2-x+1<0在(1,+∞)恒成立,令g(x)=lnx-$\frac{1}{2}$(x-1)2-x+1,x>1,根据函数的单调性求出g(x)>g(1)即可.

解答 解:(1)∵f(x)=1nx-a(x-1)2
∴f′(x)=$\frac{1}{x}$-2a(x-1),
∴x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$是f′(x)=0的根,
∴$\frac{2}{1+\sqrt{5}}-2a(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-1)=0$,
解得:a=$\frac{1}{2}$;
证明:(2)由(1)得:f(x)=lnx-$\frac{1}{2}$(x-1)2
当x>1时,f(x)<x-1,
即lnx-$\frac{1}{2}$(x-1)2-x+1<0在(1,+∞)恒成立,
令g(x)=lnx-$\frac{1}{2}$(x-1)2-x+1,x>1,
g′(x)=$\frac{1{-x}^{2}}{x}$<0,(x>1),
∴g(x)在(1,+∞)递减,
∴g(x)>g(1)=0,
故当x>1时,f(x)<x-1成立.

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用,是一道中档题.

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16.如图,矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直,将△DEF沿FD翻折,翻折后的点E(记为点P)恰好落在BC上,设AB=1,FA=x(x>1),AD=y,则以下结论正确的是(  )
A.当x=2时,y有最小值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$B.当x=2时,有最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
C.当x=$\sqrt{2}$时,y有最小值2D.当x=$\sqrt{2}$时,y有最大值2

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17.为了研究某种细菌在特定条件下随时间变化的繁殖情况,得到如表格所示实验数据,若t与y线性相关.
天数t(天)34567
繁殖个数y(千个)568912
(1)求y关于t的回归直线方程;
(2)预测t=8时细菌繁殖的个数.
(回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$中:$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n(\overline{x})^{2}}$,$\sum_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}$=217,其中$\sum_{i=1}^n{{t_i}{y_i}}$=217,$\sum_{i=1}^n{{t_i}^2}$=135)

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14.随着我国经济的迅速发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如表:
年份20102011201220132014
时间代号x12345
储蓄存款y (千亿元)567810
(Ⅰ)求y关于x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$;
(Ⅱ)用所求回归方程预测该地区今年的人民币储蓄存款.
附:回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$中,$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}•{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$•$\overline{x}$.

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1.已知函数f(x)=x3-mx.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当m=1时,令g(x)=$\frac{a{x}^{2}+ax}{f(x)}$+lnx,若函数y=g(x)在(0,$\frac{1}{e}$)内有极值,对?t∈(1,+∞),?s∈(0,1),求证:g(t)-g(s)>e+2-$\frac{1}{e}$.

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11.已知函数f(x)=x2-alnx,a∈R.
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(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)当a>0时,函数f(x)的最小值记为g(a),证明:g(a)≤1.

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( I)求证:DE∥平面ABC;
(Ⅱ)求三棱锥A1-B1DE的体积.

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