Question

已知数列{

1

an

}是等差数列，且a₃=

1

5

，a₂=3a₅．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_na_n+1（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{

1

an

}的公差为d，由于a₃=

1

5

，a₂=3a₅．可得

1

a3

=5，

1

a5

=

3

a2

，利用通项公式可得

1

a3

+2d=3(

1

a3

-d)，解得d即可得出．
（2）b_n=a_na_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{

1

an

}的公差为d，∵a₃=

1

5

，a₂=3a₅．
∴

1

a3

=5，

1

a5

=

3

a2

，
∴

1

a3

+2d=3(

1

a3

-d)，即5+2d=3（5-d），解得d=2．
∴

1

an

=

1

a3

+(n-3)d=5+2（n-3）=2n-1．
∴an=

1

2n-1

．
（2）b_n=a_na_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．