Question

函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x²，
（Ⅰ）求x＜0时，f（x）的解析式；
（Ⅱ）问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[

1

b

，

1

a

]？若存在，求出所有的a，b的值；若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，x≥0时，f（x）=2x-x²，要求x＜0时，f（x）的解析式，可选取x＜0，得到-x＞0，代入x≥0时时的解析式，得到f（-x），再由f（-x）=-f（x），两者联立，即可求得x＜0时，f（x）的解析式，
（Ⅱ）由题意，x＞0时，f（x）=-（x-1）²+1≤1，可得出

1

a

≤1，得出a≥1，由此知函数在[a，b]上是减函数，故可得出

1 b =f(b)=-b2+2b 1 a =f(a)=-a2+2a

，解此方程组得出a，b的值

解答：解：（Ⅰ）任取x＜0，得-x＞0，故有f（-x）=-2x-x²
又函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，有f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-2x-x²
∴x＜0时，f（x）=2x+x²；
（Ⅱ）∵当x＞0时，f（x）=-（x-1）²+1≤1，
若存在这样的正数a，b，则当x∈[a，b]时，[f(x)]max=

1

a

≤1?a≥1，
∴f（x）在[a，b]内单调递减，
∴

1 b =f(b)=-b2+2b 1 a =f(a)=-a2+2a

?a，b是方程x³-2x²+1=0的两正根，
∵x³-2x²+1=（x-1）（x²-x-1）=0，
∴x1=1，x2=

1+ 5

2

，
∴a=1，b=

1+ 5

2

．

点评：本题考查函数最值的应用，解题的关键是题解题意，判断函数的性质，确定函数的最值，再利用函数的最值建立方程求出参数的值，利用最值建立方程是最值的一个非常重要的应用，本题第一小题求利用奇函数的性质求对称区间上的解析式，是奇函数性质的重要运用，注意总结此题的解法步骤