Question

（2013•荆门模拟）下列命题中正确的是

①②③

．
①如果幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不过原点，则m=1或m=2；
②定义域为R的函数一定可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和；
③已知直线a、b、c两两异面，则与a、b、c同时相交的直线有无数条；
④方程

y-3

x-2

=

y-1

x+3

表示经过点A（2，3）、B（-3，1）的直线；
⑤方程

x2

2+m

-

y2

m+1

=1表示的曲线不可能是椭圆．

Answer 1

分析：①根据幂函数的定义和性质判断．②根据函数奇偶性的定义和性质判断．③根据异面直线的定义和性质判断．④根据直线方程的性质判断．⑤根据圆锥曲线的方程进行判断．

解答：解：①若幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不过原点，则

m2-3m+3=1 m2-m-2＜0

，解得m=1或m=2，故正确．
②若f（x）可分解为一个奇函数与一个偶函数的和，不妨设f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为偶函数，h（x）为奇函数，则f（-x）=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x），
则联立两式得，g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

，此种分解方法只有一种，故②正确．
③直线a、b、c两两异面，则与a、b、c同时相交的直线有无数条，正确．
④方程

y-3

x-2

=

y-1

x+3

表示经过点A（2，3）、B（-3，1）的直线（不含A，B两点），故④错误．
⑤若方程

x2

2+m

-

y2

m+1

=1表示的曲线是椭圆，
则满足

2+m＞0 m+1＜0 2+m≠-(m+1)

，即

m＞-2 m＜-1 m≠- 3 2

，
解得-2＜m＜-1且m≠-

3

2

时，表示椭圆，故⑤错误．
故正确的是①②③，
故答案为：①②③．

点评：本题主要考查幂函数的定义，函数的奇偶性，直线的位置关系，涉及的知识点较多．