Question

已知定理：“如果两个非零向量

e1

，

e2

不平行，那么k1

e1

+k2

e2

=

0

（k₁，k₂∈R）的充要条件是k₁=k₂=0”．试用上述定理解答问题：
设非零向量

e1

与

e2

不平行．已知向量

a

=(ksinθ)•

e

1+(2-cosθ)•

e

2，向量

b

=

e

1+

e

2，且

a

∥

b

．求k与θ的关系式；并当θ∈R时，求k的取值范围．

Answer 1

分析：因为

a

∥

b

，可根据向量平行的充要条件，找到

a

，

b

坐标之间的关系，再根据题目中给出的定理，化简，即可得到k与θ的关系式，把关系式看作过定点与动点的直线的斜率，利用直线与圆相切的判断，求出k的范围即可．

解答：解：∵

a

∥

b

，∴存在唯一实数λ，使

a

=λ

b

，即

a

-λ

b

=

0

∵

a

=(ksinθ)• 

e1

+(2-cosθ)• 

e2

，

b

=

e1

+

e2

，
∴(ksinθ)•

e1

+(2-cosθ)•

e2

+λ(

e1

+

e2)

=

0

即(ksinθ+λ)•

e1

+(2-cosθ+λ)•

e2

=

0

∴ksinθ+λ=0，2-cosθ+λ=0
∴ksinθ=2-cosθ，k=

2-cosθ

sinθ

∵

2-cosθ

sinθ

可看作点（-sinθ，cosθ），与点（0，2）连线的斜率
（-sinθ，cosθ）是圆x²+y²=1上动点，（0.2）是定点
求过（0，2）点的圆的切线斜率，可得k=±

3

∴-

3

＜k＜

3

答：k与θ的关系式为k=

2-cosθ

sinθ

，当θ∈R时，k的取值范围为（-

3

，

3

）

点评：本题主要考查了利用新概念解题，以及应用直线的斜率公式求范围，考查了学生具有自主学习的能力和转化的思想．