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已知焦点为F1(0,-
5
),F2(0,
5
)的双曲线C在第一象限内部分记为T,点Pn(n,yn)(n=1、2、…)在T上,Pn到直线l:y=2x+k的距离为dn,且
lim
n→∞
dn=
5

(1)设双曲线半虚轴长为b,试用b表示dn
(2)求双曲线C的方程及k值;
(3)线段PnPn+1的垂直平分线与x轴交于点(xn,0)(n=1、2、…),试证{xn}成等差数列并求通项公式.
考点:数列与解析几何的综合,数列的极限
专题:等差数列与等比数列
分析:解:(1)设双曲线为
y2
a2
-
x2
b2
=1,由已知求出双曲线方程为
y2
4
-x2=1
,由Pn(n,yn),得
yn2
4
-xn2=1
,由此能求出结果.
(2)设双曲线为
y2
a2
-
x2
b2
=1,由已知得c=
5
,双曲线渐近线方程为y=
a
b
x
,l与渐近线距离dn=
5
,由此能求出k=±5,双曲线方程为
y2
4
-x2=1

(3)由Pn+1(n+1,yn+1),得yn+1=2
1+(n+1)2
,PnPn+1的中点M(
2n+1
2
yn+yn+1
2
),由此能求出{xn}成等差数列并求通项公式,且xn=5n+
5
2
解答: 解:(1)设双曲线为
y2
a2
-
x2
b2
=1,
由已知得c=
5
,a2=5-b2
点Pn(n,yn)到直线l:y=2x+k的距离dn,且
lim
n→∞
dn=
5

双曲线渐近线方程为y=
a
b
x
,l与渐近线距离dn=
5

∴k=±5,∴直线方程为y=2x-5或y=2x+5,
∴a=2b,∴a=2,b=1,
双曲线方程为
y2
4
-x2=1

∵Pn(n,yn),∴
yn2
4
-xn2=1
yn=2
1+n2

dn=
|2n-yn-5|
5
=
2n-2
1+n2
-5
5

(2)设双曲线为
y2
a2
-
x2
b2
=1,
由已知得c=
5
,a2=5-b2
点Pn(n,yn)到直线l:y=2x+k的距离dn,且
lim
n→∞
dn=
5

双曲线渐近线方程为y=
a
b
x
,l与渐近线距离dn=
5

∴k=±5,∴直线方程为y=2x-5或y=2x+5,
∴a=2b,∴a=2,b=1,
双曲线方程为
y2
4
-x2=1

(3)∵Pn(n,yn),∴Pn+1(n+1,yn+1),
yn+1=2
1+(n+1)2

PnPn+1的中点M(
2n+1
2
yn+yn+1
2
),
∵线段PnPn+1的垂直平分线与x轴交于点(xn,0),
∴xn=(
2n+1
2
+
yn+12+yn2
2

=n+
1
2
+2(2n+1)=5n+
5
2

xn=5n+
5
2
,xn-1=5n-
5
2

∴xn-xn-1=5,
∴{xn}成等差数列并求通项公式,且xn=5n+
5
2
点评:本题考查双曲线与数的综合应用,考查双曲线性质、直线方程、数列知识的灵活运用,解题时要注意挖掘隐含条件.
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已知数列{an}是公比大于1的等比数列,Tn是{an}的前n项和,对任意n∈N*有an+1=Tn+
3
2
an+
1
2
,数列{bn}满足bn=
1
n
(log3a1+log3a2+…+log3an+log3t)(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
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1
bn+1bn+3
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2
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1
4
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已知向量
a
b
=0,|
a
|=|
b
|=1,且|
c
-
a
-2
b
|=1,则|
c
|的最大值(  )
A、2
B、4
C、
5
+1
D、
3
+1

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