Question

16．已知函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos²x-1
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$），求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先化简函数f（x），结合三角函数的单调性即可求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求出角的范围，结合三角函数的图象和性质即可．

解答 解　（Ⅰ）f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos²x-1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2x-$\frac{1}{2}$cos 2x+cos 2x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin 2x+$\frac{1}{2}$cos 2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$）…（3分）
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），
即f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）…（6分）
（II）由x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$），得2x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），
故f（x）的值域为（$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．（10分）

点评 本题主要考查三角函数的单调区间的求解以及三角函数的值域，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．