Question

某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40，50）、[50，60）、…、[90，100]后得到如图部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）记0分，在[60，80）记1分，在[80，100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）根据概率之和为1，即频率分布直方图的面积之和为1．
（2）根据题意同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，所以用每一组数据的中点值代表这一组数的平均数，即可求得．
（3）从60名学生中随抽取2人，根据题意总记分可能为0、1、2、3、4．求出相应的概率，即可求得分布列和期望．

解答：解：（1）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，
有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，
可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示
（2）平均分为

x

=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71
（3）学生成绩在[40，60）的有0.25×60=15人，
在[60，80）的有0.45×60=27人，
在[80，100）的有0.3×60=18人，
ξ的可能取值是0，1，2，3，4
则P(ξ=0)=

C 2 15

C 2 60

=

7

118

，P(ξ=1)=

C 1 15 C 1 27

C 2 60

=

27

118

，P(ξ=2)=

C 1 15 C 1 18 + C 2 27

C 2 60

=

207

590

，P(ξ=3)=

C 1 27 C 1 18

C 2 60

=

81

295

，P(ξ=4)=

C 2 18

C 2 60

=

51

590

所以ξ的分布列为：

∴Eξ=0×

7

118

+1×

27

118

+2×

207

590

+3×

81

295

+4×

51

590

=2.1

点评：此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视．