Question

已知矩形ACC₁A₁中，AA₁=2，AC=4，B是AC上动点，过B作BB1∥A

A

1

交A₁C₁于B₁，沿BB₁将矩形BCC₁B₁折起，连接AC，A₁C₁．
（1）求三棱柱体积的最大值．
（2）满足条件（1）时，D为AC中点，求证AC₁⊥面A₁BD．
（3）满足条件（1）（2）时，E为CC₁中点，求二面角A₁-BD-E的大小．

Answer 1

分析：（1）把矩形沿BB₁将矩形BCC₁B₁折起，得到的是直三棱柱，根据AC长度一定，所以当B是AC中点时，|AB||BC|最大，在此基础上，AB和BC垂直时底面积最大，则棱柱体积最大；
（2）在（1）的条件下，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，D为斜边AC的中点，能征得BD⊥AC₁，然后通过解三角形求出以AC₁⊥A₁D，利用线面垂直的判定使问题得证；
（3）由（2）可知∠A₁DE为二面角A₁-BD-E所成的平面角，在三角形A₁DE中，求出三边后即可得到二面角A₁-BD-E的大小．

解答：（1）解：依题意，三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，其体积V=S_△ABC×AA₁．
而S△ABC=

1

2

|AB||BC|sin∠ABC．
因为|AB|+|BC|为定值，所以当|AB|=|AC|时，|AB||BC|最大．
要使体积最大，即△ABC面积最大，只有当∠ABC=90°时，面积最大．
此时S=

1

2

×2×2=2．
所以三棱柱体积的最大值为2×2=4；
（2）证明：满足（1）时，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，D为斜边AC的中点，
则tan∠AA1D=

AD

AA1

=

2

2

，tan∠CAC1=

CC1

AC

=

2

2 2

=

2

2

则∠AA₁D=∠CAC₁那么∠CAC₁+∠ADA₁=∠AA₁D+∠ADA₁=90°，所以AC₁⊥A₁D
又BD⊥AC，面ACC₁A₁⊥面ABC，所以BD⊥面ACC₁A₁，而AC₁?面ACC₁A₁，
所以AC₁⊥BD，又A₁D∩BD=D．所以AC₁⊥平面A₁BD
（3）解：由（2）知∠A₁DE为二面角A₁-BD-E所成的平面角．　
A1D=

A A 2 1 +AD2

=

4+2

=

6

，
DE=

DC2+CE2

=

( 2 )2+12

=

3

，
A1E=

A1C12+C1E2

=

(2 2 )2+12

=3．
在三角形A₁DE中，A1D2+DE2=A1E2，则∠A₁DE=90°
所以二面角A₁-BD-E的大小为90°．

点评：本题考查了柱锥体的体积，考查了线面垂直的判定，考查了二面角平面角的求法，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答此题的关键是明确何时直三棱柱的底面积最大，这是学生不易想到的地方，是该题的难点所在，利用角的关系证明两线垂直也是该题的一个亮点．此题属中档题．