Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，而数列{b_n}的首项为1，b_n+1-b_n-2=0．
（1）求a₁和a₂的值；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（3）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）∵a_n是S_n与2的等差中项，
∴S_n=2a_n-2，∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂=4；
（2）∵S_n=2a_n-2①，∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2）②，
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1，即，
∵a₁≠0，∴，即数列{a_n}是等比数列．
∵a₁=2，∴．
由已知得b_n+1-b_n=2，即数列{b_n}是等差数列，
又b₁=1，∴b_n=b₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（3）由c_n=a_n•b_n=（2n-1）2ⁿ，
∴③，
∴④，
③-④得：．
即：=
∴．
分析：（1）由a_n是S_n与2的等差中项得递推式，在递推式中分别取n=1和n=2即可求得a₁和a₂的值；
（2）由（1）中的递推式和求得数列{a_n}是等比数列，由b_n+1-b_n-2=0推得数列{b_n}是等差数列，则数列{a_n}，{b_n}的通项公式可求；
（3）把a_n和b_n代入c_n=a_n•b_n后直接利用错位相减法求和．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的前n项和，求一个等差数列和一个等比数列的积数列的前n项和，常采用错位相减法．此题是中档题．