【题目】如图,在四棱锥中,底面是边长为1的正方形,,,且,为的中点.
(I)求证:平面;
(II)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(I)详见解析(II)
【解析】
试题分析:(I)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明,而线线平行的寻找与论证,往往需要利用平几知识,如本题利用三角形中位线得:连接交于点,则(II)求线面角,一般利用空间向量,即先根据条件建立恰当空间直角坐标系,设立各点坐标,列方程组解面的法向量,利用向量数量积求向量夹角余弦值,最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角的正弦值
试题解析:解:(I)连接,交于点,连接,则是的中点.
又∵是的中点,∴是的中位线,
∴,又∵平面,平面,
∴平面.
(II)∵,,,∴平面,
如图,以为原点,分别以,,为,,轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,
∴,,,
设平面的一个法向量为,由,得,
,令,则,,
∴,又∵,
∴,
∴直线与平面所成角的正弦值为.
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【题目】如图(1)所示,在直角梯形中,,,,,是的中点,是与的交点.将△沿折起到△的位置,如图(2)所示.
(1)证明:平面;
(2)若平面平面,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
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【题目】简阳羊肉汤已入选成都市级非遗项目,成为简阳的名片。当初向各地作了广告推广,同时广告对销售收益也有影响。在若干地区各投入4万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.
(Ⅰ)根据频率分布直方图,计算图中各小长方形的宽度;
(Ⅱ)根据频率分布直方图,估计投入4万元广告费用之后,并将各地销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(Ⅲ)按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入x(单位:万元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益y(单位:百万元) | 2 | 3 | 2 | 7 |
表中的数据显示,与之间存在线性相关关系,请将(Ⅱ)的结果填入空白栏,并计算关于的回归方程.回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 , .
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【题目】已知圆C:x2+y2=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0.
(1)求与圆C相切,且与直线l垂直的直线方程;
(2)在直线OA上(O为坐标原点),存在定点B(不同于点A),满足:对于圆C上任一点P,都有为一常数,试求所有满足条件的点B的坐标.
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【题目】已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)对于曲线上的不同两点,如果存在曲线上的点,且使得曲线在点处的切线,则称为弦的伴随直线,特别地,当时,又称为的—伴随直线.
①求证:曲线的任意一条弦均有伴随直线,并且伴随直线是唯一的;
②是否存在曲线,使得曲线的任意一条弦均有—伴随直线?若存在,给出一条这样的曲线,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
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【题目】已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设直线与椭圆交于、两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.
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