Question

若x，y∈R，集合A={（x，y）|x²+y²=1}，B={（x，y）|ax+by=1，a＞0，b＞0}，且A∩B至多有一个元素，则A∩B应满足的关系为    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知中集合A={（x，y）|x²+y²=1}，B={（x，y）|ax+by=1，a＞0，b＞0}，我们可得A∩B的元素即为圆x²+y²=1与直线ax+by=1，a＞0，b＞0的交点，根据A∩B至多有一个元素，可得圆心（0，0）到直线ax+by-1=0的距离不小于1，进而可得A∩B应满足的关系．
解答：解：∵集合A={（x，y）|x²+y²=1}表示以原点为圆心，以1为半径的圆
B={（x，y）|ax+by=1，a＞0，b＞0}表示一条直线
若A∩B至多有一个元素，
则直线与圆相切或相离
即圆心（0，0）到直线ax+by-1=0的距离不小于1
即d=≥1（a＞0，b＞0）
即a²+b²≤1（a＞0，b＞0）
故答案为：a²+b²≤1（a＞0，b＞0）
点评：本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，直线与圆的位置关系，集合交集的定义，其中正确理解A∩B至多有一个元素，表示圆心（0，0）到直线ax+by-1=0的距离不小于1，并由此构造出不等式是解答本题的关键．解答时易忽略已知中a＞0，b＞0的限制，而错解为a²+b²≤1．