Question

如图a，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=BC=

1

2

AD=1，E是底边AD的中点，沿CE将△CDE折起，使A-CE-D是直二面角（如图b）．在图b中过D作DF⊥平面BCD，EF∥平面BCD．
①求证：DF?平面CDE；
②求点F到平面ACD的距离；
③求面ACE与面ACF所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：①先根据线面垂直判定定理可知BC⊥平面CDE，过E作EG⊥CD，垂足为G，则EG⊥平面BCD，根据DF⊥平面BCD，则DF∥EG，DF、EG共面，都在平面DEG中，从而DF?平面CDE．
②在四面体ACDF中，AE⊥平面CDF，设点F到平面ACD的距离为h，根据等体积法可求出h；
③以E为原点，EA、EC、ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACF的一个法向量和面ACE的一个法向量，然后求出两个法向量的夹角，从而求出面ACE与面ACF所成二面角的余弦值．

解答：解：①依题意DE⊥BC，CE⊥BC，
因为DE∩CE=E，
所以BC⊥平面CDE，过E作EG⊥CD，
垂足为G，则EG⊥平面BCD，
又因为DF⊥平面BCD，
所以DF∥EG，DF、EG共面，都在平面DEG中，
所以DF?平面CDE．
②在四面体ACDF中，AE⊥平面CDF，设点F到平面ACD的距离为h，
则VACDF=

1

3

×S△CDF×AE=

1

3

×S△ACD×h，直接计算知DF=

2

2

，AD=CD=

2

，AE=1，AC=

2

，S△ACD=

3

4

×AC2=

3

2

，
从而

1

3

×

1

2

×CD×DF×AE

1

3

×

1

2

×

2

2

×

2

×1=

1

3

×

3

2

×h，h=

3

3

．
③以E为原点，EA、EC、ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0）、C（0，1，0）、F(0，-

1

2

，

1

2

)，

AC

=(-1，1，0)，

AF

=(-1，-

1

2

，

1

2

)，
设平面ACF的一个法向量为

n

=(p，q，r)，
则

n • AC =0 n • AF =0

，即

-p+q=0=0 -p- q 2 + r 2 =0

，
所以取

n

=(1，1，3)，面ACE的一个法向量为

n/

=(0，0，1)，
所以面ACE与面ACF所成二面角的余弦值cosθ=

n • n/

| n |•| n/ |

=

3

11

．

点评：本题有折叠、建立四面体、建立空间直角坐标系等方式“构造空间图形”，当然，构造的方式还有视图等；求解的问题有线面关系、角度、距离等，其中③仅适合理科学生．对理科学生而言，②也可用向量法，在上述空间直角坐标系下，面ACD的一个单位法向量

n1

=

1

3

(1，1，1)，根据数量积的几何意义，h=|

FD

•

n1

|=

1

3

．