Question

已知抛物线C：y=2x²与直线y=kx+2交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若

NA

•

NB

=0，则k=

±4

3

．

Answer 1

分析：把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0由韦达定理得x₁+x₂=

k

2

，x₁•x₂=-1，求出M（

k

4

，

k2

4

+2），进一步得到N点的坐标为（

k

4

，0）．表示出

NA

，

NB

，利用向量的数量积根式求出

NA

•

NB

，根据已知列出方程求出k的值．

解答：解：设A（x₁，2x₁²），B（x₂，2x₂²），
把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0
由韦达定理得x₁+x₂=

k

2

，x₁•x₂=-1，
所以M（

k

4

，

k2

4

+2），
所以N点的坐标为（

k

4

，0）．

NA

=(x1 -

k

4

，2x12 )，

NB

=(x2 -

k

4

，2x22 )，
所以

NA

•

NB

=(x1 -

k

4

) •(x2 -

k

4

)+4(x1x2 )2
=x1x2-

k

4

(x1+x2)+

k2

16

+4   (x1x2 )2
=-1-

k2

8

+

k2

16

+4
=3-

k2

16

因为

NA

•

NB

=0，
所以3-

k2

16

=0
所以k=±4

3

故答案为：±4

3

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，解决的思路一般是将直线与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理；考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．