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设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的上顶点为A,椭圆C上两点P,Q在x轴上的射影分别为左焦点F1和右焦点F2,直线PQ的斜率为
3
2
,过点A且与AF1垂直的直线与x轴交于点B,△AF1B的外接圆为圆M.
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线l:3x+4y+
1
4
a2=0
与圆M相交于E,F两点,且
ME
MF
=-
1
2
a2
,求椭圆方程;
(3)设点N(0,3)在椭圆C内部,若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于6
2
,求椭圆C的短轴长的取值范围.
(1)由条件可知P(-c,-
b2
a
),Q(c,
b2
a
)

因为kPQ=
3
2
,所以e=
1
2
(4分)
(2)由(1)可知,a=2c,b=
3
c

所以A(0,
3
c),F1(-c,0),B(3c,0)

从而M(c,0).半径为a,
因为
ME
MF
=-
1
2
a2

所以∠EMF=120°,可得:M到直线l的距离为
a
2

所以c=2,所以椭圆方程为
x2
16
+
y2
12
=1
.(8分)
(3)因为点N在椭圆内部,
所以b>3.(9分)
设椭圆上任意一点为K(x,y),
KN2=x2+(y-3)2≤(6
2
)2

由条件可以整理得:y2+18y-4b2+189≥0
对任意y∈[-b,b](b>3)恒成立,
所以有:
-9≤-b
(-b)2+18(-b)-4b2+189≥0

或者
-9>-b
(-9)2+18×(-9)-4b2+189≥0

解之得:2b∈(6,12
2
-6]
(13分)
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>1)右焦点为F,它与直线l:y=k(x+1)相交于P、Q两点,l与x轴的交点M到椭圆左准线的距离为d,若椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项.
(1)求椭圆离心率e;
(2)设N与M关于原点O对称,若以N为圆心,b为半径的圆与l相切,且
OP
OQ
=-
5
3
求椭圆C的方程.

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精英家教网设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左.右焦点分别为F1F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且2
F1F2
+
F2Q
=
0

(1)若过A.Q.F2三点的圆恰好与直线l:x-
3
y-3=0相切,求椭圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M.N两点.试证明:
1
|F2M|
+
1
|F2N|
为定值;②在x轴上是否存在点P(m,0)使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出m的取值范围,如果不存在,说明理由.

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(2012•盐城一模)设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
恒过定点A(1,2),则椭圆的中心到准线的距离的最小值
5
+2
5
+2

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科目:高中数学 来源: 题型:

设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若P 是椭圆上的一点,|
PF1
|+|
PF2
|=4
,离心率e=
3
2

(1)求椭圆C的方程;
(2)若P 是第一象限内该椭圆上的一点,
PF1
PF2
=-
5
4
,求点P的坐标;
(3)设过定点P(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左,右焦点分别为F1,F2,离心率为e=
2
2
,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与直线x-
3
y-3=0
相切.
(I)求椭圆C的方程;
(II)直线y=x交椭圆C于A、B两点,D为椭圆上异于A、B的点,求△ABD面积的最大值.

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