Question

对于n∈N⁺的命题，下面四个判断：
①若f（n）=1+2+2²+…+2ⁿ，则f（1）=1；
②若f（n）=1+2+2²+…+2^n-1，则f（1）=1+2；
③若f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n+1

，则f（1）=1+

1

2

+

1

3

；
④若f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

，则f(k+1)=f(k)+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

；
其中正确命题的序号为

③④

．

Answer 1

分析：根据数学归纳法的定义分别进行判断即可．

解答：解：①∵f（n）=1+2+2²+…+2ⁿ，∴f（1）=1+2¹=1+2=3，∴①错误．
②∵f（n）=1+2+2²+…+2^n-1，∴f（1）=1，∴②错误．
③∵f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n+1

，∴f（1）=1+

1

2

+

1

3

，∴③正确．
④∵f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

，∴f(k+1)=

1

k+2

+

1

k+3

+???+

1

3k+3

=f(k)+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+3

-

1

k+1

，∴④正确．
故答案为：③④．

点评：本题主要考查与数列有关的命题的真假判断，利用数学归纳的定义是解决本题的关键．