Question

9．已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）
（1）当a=3时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥3mx-2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x的范围，即可得到答案；
（2）由函数f（x）在x=1处取得极值求出a的值，再依据不等式恒成立时所取的条件，求出实数m的取值范围即可．

解答 解：（1）当a=3时，f（x）=3x-1-lnx（a∈R），x＞0，
∴f′（x）=3-$\frac{1}{x}$=$\frac{3x-1}{x}$，
当f′（x）＞0时，即x＞$\frac{1}{3}$时，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即0＜x＜$\frac{1}{3}$时，函数单调递减，
故f（x）在（$\frac{1}{3}$，+∞）上为增函数，在（0，$\frac{1}{3}$）上为减函数．
（2）∵f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，函数f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=a-1=0，
解得a=1，
∵对?x∈（0，+∞），f（x）≥3mx-2恒成立，
∴x-1-lnx≥3mx-2在（0，+∞）上恒成立，
即m≤$\frac{1}{3}$（1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$），
设g（x）=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，
∴g′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，解得x=e²，
当g′（x）＞0时，即x＞e²时，函数单调递增，
当g′（x）＜0时，即0＜x＜e²时，函数单调递减，
当x=e²时函数有极小值，也是最小值，
∴g（x）_min=g（e²）=1+$\frac{1}{{e}^{2}}$-$\frac{2}{{e}^{2}}$=1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴m≤$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3{e}^{2}}$
故m的取值范围为（-∞，$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3{e}^{2}}$]．

点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．