Question

17．已知正数a，b满足4a+b=3，则e${\;}^{\frac{1}{a}}$•e${\;}^{\frac{1}{b}}$的最小值为（　　）

• A． 3
• B． e³
• C． 4
• D． e⁴

Answer 1

分析 利用基本不等式的性质、指数函数的运算性质即可得出．

解答 解：∵正数a，b满足4a+b=3，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{3}（4a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=$\frac{1}{3}（5+\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}）$≥$\frac{1}{3}（5+2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}）$=$\frac{1}{3}×（5+4）$=3．当且仅当b=2a=1时取等号．
则e${\;}^{\frac{1}{a}}$•e${\;}^{\frac{1}{b}}$=${e}^{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$≥e³．
故选：B．

点评 本题考查了基本不等式的性质、指数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．