Question

对于函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在实数x₀，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点．
（1）当a=2，b=-2时，求f（x）的不动点．
（2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．

Answer 1

解∵f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），
（1）当a=2，b=-2时，f（x）=2x²-x-4．
设x为其不动点，即2x²-x-4=x．
则2x²-2x-4=0．∴x₁=-1，x₂=2．即f（x）的不动点是-1，2．
（2）由f（x）=x得：ax²+bx+b-2=0．
由已知，此方程有相异二实根，△_x＞0恒成立，
即b²-4a（b-2）＞0．
即b²-4ab+8a＞0对任意b∈R恒成立．
∴△_b＜0．，
∴16a²-32a＜0，
∴0＜a＜2．
分析：（1）设x为不动点，则有2x²-x-4=x，变形为2x²-2x-4=0，解方程即可．
（2）将f（x）=x转化为ax²+bx+b-2=0．由已知，此方程有相异二实根，则有△_x＞0恒成立求解；
点评：本题主要考查的知识点是二次函数的性质，方程的解法，方程根的情况以及垂直平分线定义的应用．其中根据已知中的新定义，构造满足条件的方程是解答本题的关键．