Question

10．在△ABC中，D为BC边上一点，AD=BD，AC=4，BC=5．
（1）若∠C=60°，求△ABC外接圆半径R的值；
（2）设∠CAB-∠B=θ，若$tanθ=\frac{{\sqrt{15}}}{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理表示出AB，再利用正弦定理即可求出外接圆半径R；
（2）根据正弦定理余弦定理和三角形面积公式即可求出

解答 解：（1）由余弦定理，得AB²=BC²+AC²-2BC•AC•cos60°=21，
解得$AB=\sqrt{21}$．
由正弦定理得，$\frac{AB}{sinC}=\frac{{\sqrt{21}}}{{sin{{60}°}}}=2R，R=\sqrt{7}$．
（2）设CD=x，则BD=5-x，AD=5-x，
∵AD=BD，∴∠B=∠DAB．
∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=∠CAB-∠B=θ．
∵$tanθ=\frac{{\sqrt{15}}}{7}$，∴$0＜θ＜\frac{π}{2}，cosθ=\frac{7}{8}$．
∴$cos∠CAD=cosθ=\frac{{A{D^2}+A{C^2}-C{D^2}}}{2AD•AC}$，
即$\frac{{{{（5-x）}^2}+{4^2}-{x^2}}}{2×4×（5-x）}=\frac{7}{8}$，解得x=2．
∴BD=AD=3．
∵$\frac{AD}{sinC}=\frac{CD}{sin∠CAD}$，
∴$sinC=\frac{3}{2}sinθ=\frac{{3\sqrt{15}}}{16}$．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AC•BC•sinC=\frac{1}{2}×4×5×\frac{{3\sqrt{15}}}{16}=\frac{{15\sqrt{15}}}{8}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．