【题目】已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),并设 ,
(1)若F(x)图像在x=0处的切线方程为x﹣y=0,求b、c的值;
(2)若函数F(x)是(﹣∞,+∞)上单调递减,则 ①当x≥0时,试判断f(x)与(x+c)2的大小关系,并证明之;
②对满足题设条件的任意b、c,不等式f(c)﹣Mc2≤f(b)﹣Mb2恒成立,求M的取值范围.
【答案】
(1)解:因为 ,所以 ,
又因为F(x)图像在x=0处的切线方程为x﹣y=0,
所以 ,即 ,解得 b=1,c=0
(2)解:①因为F(x)是(﹣∞,+∞)上的单调递减函数,所以F′(x)≤0恒成立,
即﹣x2+(2﹣b)x+(b﹣c)≤0对任意的x∈R恒成立,
所以△=(2﹣b)2+4(b﹣c)≤0,所以 ,即c>b且c≥1,
令g(x)=f(x)﹣(x+c)2=(b﹣2c)x﹣c(c﹣1),由b﹣2c<0,知g(x)是减函数,
故g(x)在[0,+∞)内取得最小值g(0),又g(0)=﹣c(c﹣1)≤0,
所以x≥0时,g(x)≤g(0)≤0,即f(x)≤(x+c)2.
②由①知,c≥|b|≥0,当|b|=c时,b=c或b=﹣c,
因为b2+4﹣4c≤0,即c2+4﹣4c≤0,解得c=2,b=2或b=﹣2,所以f(x)=x2±2x+2,
而f(c)﹣f(b)=c2+bc+c﹣b2﹣b2﹣c=c2+bc﹣2b2=(c+2b)(c﹣b),
所以f(c)﹣f(b)=﹣8或0,
不等式f(c)﹣Mc2≤f(b)﹣Mb2等价于f(c)﹣f(b)≤M(c2﹣b2),
变为﹣8≤M0或0≤M0恒成立,M∈R,
当|b|≠c时,c>|b|,即c2﹣b2>0,所以不等式f(c)﹣Mc2≤f(b)﹣Mb2恒成立等价于 恒成立,等价于 ,
而 ,
因为c>|b|, ,所以 ,所以 ,所以 ,
所以 ,所以
【解析】(1)欲求b,c的值,根据所给的切线方程,只须求出切线斜率即可,故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率进而得切线方程,最后与所给的方程比较即得b,c的值;(2)根据函数F(x)是(﹣∞,+∞)上单调递减,得到F′(x)≤0恒成立,从而得到c>b且c≥1,①令g(x)=f(x)﹣(x+c)2=(b﹣2c)x﹣c(c﹣1),从而得到结果;②不等式f(c)﹣Mc2≤f(b)﹣Mb2恒成立等价于f(c)﹣f(b)≤M(c2﹣b2)恒成立,分离参数可得 恒成立,转化为求 的最大值即可.
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
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【题目】如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,小区的两个出入口设置在点A及点C处,且小区里有一条平行于BO的小路CD,已知某人从C沿CD走到D用了10分钟,从D沿DA走到A用了6分钟,若此人步行的速度为每分钟50米,求该扇形的半径OA的长(精确到1米)
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【题目】设定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)﹣log2x]=6,若x0是方程f(x)﹣f′(x)=4的一个解,且x0∈(a,a+1)(a∈N*),则实数a=
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【题目】某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业,在一个开学季内,每售出盒该产品获利润元;未售出的产品,每盒亏损元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示,该同学为这个开学季购进了盒该产品,以(单位:盒, )表示这个开学季内的市场需求量,(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润.
(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量的中位数;
(2)将表示为的函数;
(3)根据直方图估计利润不少于元的概率.
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【题目】近代统计学的发展起源于二十世纪初,它是在概率论的基础上发展起来的,统计性质的工作可以追溯到远古的“结绳记事”和《二十四史》中大量的关于我人口、钱粮、 水文、天文、地震等资料的记录.近几年,雾霾来袭,对某市该年11月份的天气情况进行统计,结果如下:表一
日期 |
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天气 | 晴 | 霾 | 霾 | 阴 | 霾 | 霾 | 阴 | 霾 | 霾 | 霾 | 阴 | 晴 | 霾 | 霾 | 霾 |
日期 |
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天气 | 霾 | 霾 | 霾 | 阴 | 晴 | 霾 | 霾 | 晴 | 霾 | 晴 | 霾 | 霾 | 霾 | 晴 | 霾 |
由于此种情况某市政府为减少雾霾于次年采取了全年限行的政策.
下表是一个调査机构对比以上两年11月份(该年不限行 天、次年限行天共 天)的调查结果:
表二
不限行 | 限行 | 总计 | |
没有雾霾 |
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有雾霾 |
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总计 |
(1)请由表一数据求 ,并求在该年11月份任取一天,估计该市是晴天的概率;
(2)请用统计学原理计算若没有 的把握认为雾霾与限行有关系,则限行时有多少天没有雾霾?
(由于不能使用计算器,所以表中数据使用时四舍五入取整数)
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【题目】已知一个分段函数可利用函数 来表示,例如要表示一个分段函数 ,可将函数g(x)表示为g(x)=xS(x﹣2)+(﹣x)S(2﹣x).现有一个函数f(x)=(﹣x2+4x﹣3)S(x﹣1)+(x2﹣1)S(1﹣x).
(1)求函数f(x)在区间[0,4]上的最大值与最小值;
(2)若关于x的不等式f(x)≤kx对任意x∈[0,+∞)都成立,求实数k的取值范围.
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