Question

如图，已知单位圆上两点P，Q关于直线y=x对称，且以射线OP为终边的角的大小为x．
（1）求点P，Q的坐标；
（2）若另有两点M（a，-a）、N（-a，a），记f(x)=

MP

•

NQ

．当点P在上半圆上运动时（含圆与x轴的交点），求函数f（x）的表达式．
（3）在（2）的条件下，若函数f（x）最大值为-1，求实数a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得：P（cosx，sinx），点关于直线的对称点的知识可得Q（sinx，cosx）．
（Ⅱ）根据题意结合向量的数量积的运算可得f（x）=2sinxcosx-2a（sinx-cosx）-2a²，又点P在上半圆上运动（含圆与x轴的交点），所以x∈[0，π]，进而得到函数的解析式．
所以函数的表达式为：f（x）=2sinxcosx-2a（sinx-cosx）-2a²，x∈[0，π]．
（Ⅲ）根据题意利用换元法得到：f（x）=-t²-2at-2a²+1，t∈[-1，

2

]，再根据二次函数的有关性质求出函数的最大值，然后结合题意求出答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：点P为单位圆上点，并且以射线OP为终边的角的大小为x，
所以P（cosx，sinx），
又因为P，Q两点关于直线y=x对称，
所以Q（sinx，cosx）．…2
（Ⅱ）因为P（cosx，sinx），Q（sinx，cosx），M（a，-a）、N（-a，a），
所以f(x)=

MP

•

NQ

=2（cosx-a）（sinx+a）
=2sinxcosx-2a（sinx-cosx）-2a²，
又因为点P在上半圆上运动（含圆与x轴的交点），
所以x∈[0，π]…（6分）
所以函数的表达式为：f（x）=2sinxcosx-2a（sinx-cosx）-2a²，x∈[0，π]．
（Ⅲ）设t=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，
因为x∈[0，π]，所以t∈[-1，

2

]．
所以f（x）=-t²-2at-2a²+1，t∈[-1，

2

]，
设最大值为g（a）
①当-

2

≤a≤1，g（a）=1-a²
②当a＞1，g（a）=2a-a²
③当a＜-

2

，g（a）=-1-2

2

a-2a²
综上：g(a)=

1-a2  (- 2 ≤a≤1) 2a-a2 ，   (a＞1) -1-2 2 a-2a2  (a＜- 2 )

，
又因为g（a）=-1，
所以a=-

2

或

2

+1．

点评：本题主要考查二次函数函数定区间上求最值问题，以点关于直线的对称点与向量的数量积等问题，此题是一道综合性较强的题型，属于难题．