Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为An ， 对任意n∈N*满足 ﹣ = ，且a1=1，数列{bn}满足bn+2﹣2bn+1+bn=0（n∈N*），b3=5，其前9项和为63．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）令cn= + ，数列{cn}的前n项和为Tn ， 若对任意正整数n，都有Tn≥2n+a，求实数a的取值范围；
（3）将数列{an}，{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：a1 ， b1 ， b2 ， a2 ， a3 ， b3 ， b4 ， a4 ， a5 ， b5 ， b6 ， …，求这个新数列的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴数列 是首项为1，公差为 的等差数列，

∴ ，即 ，

∴ ，

又a1=1，∴ ，

∵bn+2﹣2bn+1+bn=0，∴数列{bn}是等差数列，

设{bn}的前n项和为Bn，∵ 且b3=5，

∴b7=9，∴{bn}的公差为 ，

（2）解：由（1）知 ，

∴Tn=c1+c2+…+cn= = = ，

∴ ，

设 ，则 ，

∴数列{Rn}为递增数列，

∴ ，

∵对任意正整数n，都有Tn﹣2n≥a恒成立，∴

（3）解：数列{an}的前n项和 ，数列{bn}的前n项和 ．

①当n=2k（k∈N*）时， ；

②当n=4k+1（k∈N*）时， =4k2+8k+1，

特别地，当n=1时，S1=1也符合上式；

③当n=4k﹣1（k∈N*）时， ．

综上： ，k∈N*

【解析】（1）由 ，利用等差数列通项公式可得An ， 再利用递推关系可得an ． 由bn+2﹣2bn+1+bn=0，可得数列
{bn}是等差数列，利用等差数列的求和公式与通项公式即可得出．（2）由（1）知 ，再利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．（3）数列{an}的前n项和 ，数列{bn}的前n项和 ．对n分类讨论即可得出．