【题目】若、、均为正整数,且,为一素数,、、的进制表示分别为,其中,.证明:
(1)若,且对整数 均有,则,其中,表示不超过实数的最大整数.
(2) ,其中,表示集合A中元素的个数.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)注意到,.
于是,.
则.
故.
(1)若,且,则记.
以,为例,易得.
一般地,关于不难得出公式:.
由(1)得.
令.则.
先介绍两个引理.
引理1 ,其中,.
引理1的证明 事实上,由,
知.
引理2 若存在整数,有,
而,则存在整数 ,有
引理2的证明 由,即.
又由,得
.
于是,.
因为,所以,.
故.
从而,.
若,则,即.
若,则.
由,
知.
于是,.
所以,,即.
否则,
由于,从而,一定存在整数使得,即.
回到原题.
相对于的进制表示,称中的一段是长度为的一个“下移端”,记为.
显然,.
从而,,即为引理2的条件.
因此,当时,若,则,存在另一个下移段.
由上述讨论,知若中有个,则中存在个下移段 .
当时,显然,,且.
当时,,仍有.
上述两种情形均有.
由引理1及(1)知.
对任意的,当时,由引理1知
.
综上,即得
.
令.则.
故
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)( )
A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某小学为了解本校某年级女生的身高情况,从本校该年级的女学生中随机选出100名并统计她们的身高(单位:cm),得到的频数分布表如下:
分组 | ||||
频数 | 20 | 20 | 50 | 10 |
(1)用分层抽样的方法从身高在和的女生中共抽取6人,则身高在内的女生应抽取几人?
(2)在(1)中抽取的6人中,再随机抽取2人,求这2人身高都在内的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,平面平面ABCD,,,E,F分别为AD,PB的中点.
(1)求证:平面ABCD;
(2)求证:平面PCD;
(3)求四棱锥的体积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列说法正确的是( )
A.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥
B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台
D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2018年国际山地旅游大会于10月14日在贵州召开,据统计有来自全世界的4000名女性和6000名男性徒步爱好者参与徒步运动,其中抵达终点的女性与男性徒步爱好者分别为1000名和2000名,抵达终点的徒步爱好者可获得纪念品一份。若记者随机电话采访参与本次徒步运动的1名女性和1名男性徒步爱好者,其中恰好有1名徒步爱好者获得纪念品的概率是( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,在四棱锥S-ABCD中,SA⊥平面ABCD,底面ABCD是梯形,AB//CD,DA⊥AB,BC⊥SC,SA=AD=3,AB=6,点E在棱SD上,且VS-ACE=2VE-ACD。
(1)求证:BC⊥平面SAC;
(2)求二面角S-AE-C的余弦值。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:AE⊥平面BCE;
(2)求证:AE∥平面BFD;
(3)求三棱锥C-BGF的体积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
(1)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表:
超过m | 不超过m | 总计 | |
第一种生产方式 | |||
第二种生产方式 | |||
总计 |
(2)根据(1)中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com