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【题目】均为正整数,且为一素数,进制表示分别为,其中,.证明:

(1)若,且对整数 均有,则,其中,表示不超过实数的最大整数.

(2) ,其中,表示集合A中元素的个数.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)注意到,.

于是,.

.

.

(1),且,则记.

为例,易得.

一般地,关于不难得出公式:.

由(1)得.

.则.

先介绍两个引理.

引理1 ,其中,.

引理1的证明 事实上,由

.

引理2 若存在整数,有

,则存在整数 ,有

引理2的证明 由,即.

又由,得

.

于是,.

因为,所以,.

.

从而,.

,则,即.

,则.

.

于是,.

所以,,即.

否则,

由于,从而,一定存在整数使得,即.

回到原题.

相对于进制表示,称中的一段是长度为的一个“下移端”,记为.

显然,.

从而,,即为引理2的条件.

因此,当时,若,则,存在另一个下移段.

由上述讨论,知若中有,则中存在个下移段 .

时,显然,,且.

时,,仍有.

上述两种情形均有.

由引理1及(1)知.

对任意的,当时,由引理1知

.

综上,即得

.

.则.

.

练习册系列答案
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A.2B.3C.4D.5

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分组

频数

20

20

50

10

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A. B. C. D.

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【题目】如图所示,在四棱锥S-ABCD中,SA⊥平面ABCD,底面ABCD是梯形,AB//CDDAABBCSC,SA=AD=3,AB=6,点E在棱SD上,且VS-ACE=2VE-ACD

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超过m

不超过m

总计

第一种生产方式

第二种生产方式

总计

2)根据(1)中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异?

附:

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

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