Question

已知动点P到定直线l：x=2的距离与点P到定点F之比为．
（1）求动点P的轨迹c的方程；
（2）若点N为轨迹C上任意一点（不在x轴上），过原点O作直线AB交（1）中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k₁、k₂，问k₁•k₂是否为定值？
（3）若点M为圆O：x²+y²=4上任意一点（不在x轴上），过M作圆O的切线，交直线l于点Q，问MF与OQ是否始终保持垂直关系？

Answer 1

【答案】分析：（1）设出点P，利用两点间的距离公式分别表示出P到定直线的距离和到点F的距离的比，建立方程求得x和y的关系式，即P的轨迹方程．
（2）设出N，A，则B的坐标可知，代入圆锥曲线的方程相减后，可求得k₁•k₂=-，证明原式．
（3）设M（x，y），则可表示出切线方程，与x=2联立求得Q的坐标表达式，则可分别表示出和，进而利用向量的运算法则求得•结果为0，判断出⊥．
解答：解：（1）设点P（x，y），依题意，有
．
整理，得．
所以动点P的轨迹C的方程为．

（2）由题意：设N（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
则B（-x₂，-y₂），
k₁•k₂==
=为定值．

（3）M（x，y），则切线MQ的方程为：xx+yy=4
由得Q
，=
=
所以：即MF与OQ始终保持垂直关系
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．当涉及直线的斜率的时候，点差法是常用的方法，能把直线的斜率和曲线方程，交点坐标，交点的中点坐标等向联系．