Question

过点P（1，1）作曲线y=x³的两条切线l₁，l₂，若l₁和l₂的夹角为θ，则tanθ=

 

．

Answer 1

分析：判断点P在曲线上，可以得出过点P的切线方程的斜率，想法求出另一切点坐标，进而求出另一条切线的斜率，利用夹角公式即可．

解答：解：∵y=x³，∴y′=3x²，
∵点P（1，1），
∴点P在作曲线y=x³上，
∴过点P的一条切线l₁的斜率为3，
设点M（t，t³）为曲线上的另一切点，
根据导数的几何意义得，y′=3t²=

t3-1

t-1

=t²+t+1（t≠1），
即（2t+1）（t-1）=0，得t=-

1

2

或t=1（舍去）．
∴过点P的另一条切线l₂的斜率为

3

4

，
∴tanθ=|

3- 3 4

1+3• 3 4

|=

9

13

．
故答案为：

9

13

．

点评：本题考查导数的几何意义及两条直线夹角的正切公式，考查学生的计算能力，求出切线的斜率是关键．