Question

9．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的短轴长为2，离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l：y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，可知：a=2，即可求得椭圆的标准方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，△＞0及x₁x₂+y₁y₂＞0，利用韦达定理即可取得实数m的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知：2b=2，则b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：a=2，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：5x²+8mx+4m²-4=0，
由△=64m²-4×5（4m²-4）＞0，解得：-$\sqrt{5}$＜m＜$\sqrt{5}$，
∴x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$，
y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-4}{5}$，
由于∠AOB为锐角，则0＜∠AOB＜$\frac{π}{2}$，
则ocs∠AOB＞0，即x₁x₂+y₁y₂＞0，
∴$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$+$\frac{{m}^{2}-4}{5}$＞0，解得：m＞$\frac{2\sqrt{10}}{5}$或m＜-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
综上可知：-$\sqrt{5}$＜m＜-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$或$\frac{2\sqrt{10}}{5}$＜m＜$\sqrt{5}$，
故实数m的取值范围（-$\sqrt{5}$，-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$）∪（$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．