Question

（2012•黄浦区一模）（理科）已知函数f（x）=

2 π |x-π|，  (x＞ π 2 ) sinx，   (0≤x≤ π 2 ) x2+x，   (x＜0)

，M是非零常数，关于X的方程f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根，若b、a分别是三个根中的最小根和最大根，则β•sin(

π

3

+α)=

1+ 5

4

．

Answer 1

分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=m，因为两图象有且仅有三个公共点，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最小根β=

-1- 5

2

，最大根α=

3π

2

，将它们代入再化简，即可得到要求值式子的值．

解答：解：作出函数y=f（x）的图象如图，

可得函数f（x）的单调减区间为（-∞，-

1

2

）和（

π

2

，π）；单调增区间为（-

1

2

，

π

2

）和（π，+∞），
f（x）的极大值为f（

π

2

）=1，极小值为f（-

1

2

）=-

1

4

和f（π）=0
将直线y=m进行平移，可得当m=1时，两图象有且仅有三个不同的公共点，
相应地方程f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根．
令f（x）=1，得x₁=

-1- 5

2

，x₂=

π

2

，x₃=

3π

2

，所以β=

-1- 5

2

，α=

3π

2

，
∴β•sin(

π

3

+α)=

-1- 5

2

•sin

11π

6

=

-1- 5

2

•（-

1

2

）=

1+ 5

4

故答案为：

1+ 5

4

点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根和最小根，并且用这个根来求值，着重考查了函数与方程的关系，以及三角函数求值等知识，属于中档题．